第01讲：《空间直角坐标系与向量的基本运算》内容小结、课件与典型例题与练习

数学从初等数学发展成高等数学有一个重要的分界线，那就是笛卡尔创立的解析几何，解析几何是集逻辑、几何、代数三者优点于一身的新的数学。笛卡尔解析几何就是用含有变数的代数式来描述几何对象，从而可以用代数的方法研究几何问题.

正因为笛卡尔创立的解析几何在数学发展史上的重要地位，笛卡儿就是数学的坐标。

数学是研究现实生活中数量关系和空间形式的科学。

——恩格斯

数无形时少直觉，形少数时难入微。

——华罗庚

只要代数和几何沿着各自的途径去发展，它们的进展将是缓慢的，他们的应用也是很有限的。但是，当这两门学科结成伴侣，它们都将从对方身上获得新鲜的活力，因此，以快速的步伐猛进，趋于完美。

——拉格朗日

一、空间直角坐标系

(1) 空间直角坐标系不唯一

(2) 三个坐标轴的方向符合右手法则（右手张开，四个手指指向从轴正向向内弯曲90度转到轴正向，则大拇指所指方向为轴正向）

(3) 一个空间直角坐标系包括一个原点、三个坐标轴、三个坐标面、将空间分割成八个卦限

(4) 空间直角坐标系的三个平面依次记作,,；并构成三个坐标面

(5) 坐标系原点坐标为，坐标轴上的点的坐标,,，坐标面上的坐标,,及各卦限内点的坐标取值范围

二、空间中点和向量的坐标描述

即以原点为起点，终点为的向径；也表示长度（向量的大小）为，方向与向径同向的自由向量。

三、空间两点的距离公式及中点公式

空间两点, 的距离，即以为起点，为终点的向量的长度，所以有

并有两点间的中点坐标计算公式

四、向量关系与基本运算

设向量, ，为实数：

(1) 若向量与大小相等，方向相同，则称与相等，记作；且有

(2) 若非零向量 与 方向相同相等或者相反，则称 与   平行，记作 ；且有

• 规定: 零向量与任何向量平行。
• 因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称两向量共线.

(3) 若个向量经平移可移到同一平面上，则称此个向量共面.

(4) 与 的模相同，但方向相反的向量称为 的负向量，记作 .

(5) 向量的加减与数乘运算符合矩阵的加减与数乘运算法则：

(6) 向量的加减法有平行四边形法则与三角形法则，并借助于三角形三边长的关系有相关的不等式结论：

(7) 两向量的夹角范围：

(8) 两向量的夹角的角平分线所在的方向可取为两向量的单位向量的和向量 的指向（或反向）.

(9) 任何向量都可以描述为两个向径的差，或者以任一点为起点，以该向量的终点、起点分别为终点的两个向量的差，即

五、向量的基向量描述与方向余弦

(1) 基向量：分别表示方向与轴相同，长度为1的单位向量；

(2) 任意向量可以描述为

(3)  称为向量沿三个坐标轴方向的分向量，也是向量在三个坐标轴上的投影向量.

(4) 向量与坐标轴的夹角及向量与三个基向量的夹角，有如下计算公式与性质：

其中也是向量与坐标轴轴的夹角，称为向量的方向角， ,, 也称为向量的方向余弦. 三个方向角，或者三个方向余弦确定了向量的方向.

最后两个式子即体现了确定向量的两个要素：大小（向量的模）与方向（单位向量，即方向余弦构成的向量），也是一个向量的单位化运算.

参考课件

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